Родился 16 ноября 1980 г. в Макеевке Донецкой области. Окончил Донецкий государственный университет управления (по специальности "финансы"). Позже, в феврале 2010 года, - Днепропетровское региональное отделение Национальной академии управления при Президенте Украины (магистр государственного управления).
В 1997-2005 гг. работал на должностях, в том числе руководящих, в коммерческих структурах.
В 2005-2010 гг. - заместитель начальника специализированной государственной налоговой инспекции по работе с крупными плательщиками налогов города Донецка.
С мая 2010 года - первый заместитель председателя государственной налоговой администрации в Донецкой области.
С сентября 2010-го - председатель государственной налоговой администрации в Донецкой области.
С 18 февраля 2011 года - заместитель председателя Государственной налоговой службы Украины.
7 ноября 2011-го указом президента Украины Виктора Януковича назначен председателем ГНС Украины.
24 декабря 2012 г. назначен министром доходов и сборов Украины.
27 февраля 2014 Верховная Рада отправила правительство в отставку и уволила всех министров, в том числе и Александра Клименко.
В конце февраля 2014 года из-за угрозы жизни Александр Клименко вместе с семьей был вынужден покинуть территорию Украины. По причинам безопасности не называет место своего пребывания. После непродолжительного отсутствия в публичной политике завел страницу в социальной сети Facebook. Активно комментирует экономическую ситуацию в Украине и вопросы налоговой и таможенной политики. В том числе - проводит чат-конференции в соцсети
Был и остается последовательным сторонником реорганизации налоговой системы Украины в соответствии с европейскими стандартами.